Summation Question #2

This is a question from AJC/C2/MY/P1/10. Quite challenging. But once you get the hang of it, you should be capable of solving other variations.

Using the formula for sin(A+B), prove the sin(3A)=3sinA-4sin^{3}A.

(i) Hence show that \sum_{r=1}^{n} \frac{4}{3^r} sin^{3}(3^{r}\theta)=sin(3\theta)-\frac{1}{3^n} sin(3^{n+1}\theta)

(ii) Deduce the sum of the series \sum_{r=1}^{n} sin^{2}(3^{r}\theta)cos(3^{r}\theta)

Ans: \frac{1}{4} [cos(3\theta)-cos(3^{n+1}\theta)]

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